STEP 1: Understand the given information and recall key properties.

You are given that \(\omega\) is a cube root of unity (other than 1). The crucial properties are:

\(\omega^3 = 1\)

\(1 + \omega + \omega^2 = 0\)

These are the starting points for simplifying any expression involving powers of \(\omega\).

STEP 2: Simplify the higher powers of \(\omega\) in the expression.

The expression is \(\omega^5 + \omega^7\). Use the property \(\omega^3 = 1\) to reduce the powers:

For \(\omega^5\): Divide the power (5) by 3. The remainder is 2. So, \(\omega^5\) simplifies to \(\omega\) raised to the power of the remainder.

\[ \omega^5 = \omega^{3 \times 1 + 2} = (\omega^3)^1 \cdot \omega^2 = 1^1 \cdot \omega^2 = \omega^2 \]

For \(\omega^7\): Divide the power (7) by 3. The remainder is 1. So, \(\omega^7\) simplifies to \(\omega\) raised to the power of the remainder.

\[ \omega^7 = \omega^{3 \times 2 + 1} = (\omega^3)^2 \cdot \omega^1 = 1^2 \cdot \omega = \omega \]

STEP 3: Substitute the simplified terms back into the expression.

Now the expression \(\omega^5 + \omega^7\) becomes:

\[ \omega^5 + \omega^7 = \omega^2 + \omega \]

STEP 4: Use the second property to find the numerical value.

You know that \(1 + \omega + \omega^2 = 0\). Rearrange this equation to find the value of \(\omega^2 + \omega\):

\[ \omega^2 + \omega = -1 \]

STEP 1: Formulate equations based on the distances between centers and radii.

Let \(r_A\), \(r_B\), and \(r_C\) be the radii of the circles with centers \(A\), \(B\), and \(C\) respectively. Since the circles touch externally, the distance between the centers of any two touching circles is the sum of their radii.

\[ AB=r_A+r_B \]
\[ BC=r_B+r_C \]
\[ CA=r_C+r_A \]

STEP 2: Substitute the given side lengths into the equations.

We are given \(AB = 8 \text{ cm}\), \(BC = 4 \text{ cm}\), and \(CA = 5 \text{ cm}\). Substitute these values into the equations from STEP 1:

\[ r_A+r_B=8 \quad (\text{Equation } 1) \]
\[ r_B+r_C=4 \quad (\text{Equation } 2) \]
\[ r_C+r_A=5 \quad (\text{Equation } 3) \]

STEP 3: Solve the system of linear equations to find the radii.

We have a system of three linear equations. One way to solve is to add all three equations:

\[ (r_A+r_B)+(r_B+r_C)+(r_C+r_A)=8+4+5 \]
\[ 2r_A+2r_B+2r_C=17 \]
\[ 2(r_A+r_B+r_C)=17 \]
\[ r_A+r_B+r_C=\frac{17}{2}=8.5 \]

Now, subtract each of the original equations from the sum (\(r_A+r_B+r_C=8.5\)) to find the individual radii:

\[ r_C=(r_A+r_B+r_C)-(r_A+r_B)=8.5-8=0.5 \]
\[ r_A=(r_A+r_B+r_C)-(r_B+r_C)=8.5-4=4.5 \]
\[ r_B=(r_A+r_B+r_C)-(r_C+r_A)=8.5-5=3.5 \]

STEP 1: மையங்களுக்கு இடையிலான தொலைவுகள் மற்றும் ஆரங்களின் அடிப்படையில் சமன்பாடுகளை உருவாக்குதல்.

\(A\), \(B\), மற்றும் \(C\) ஐ மையங்களாகக் கொண்ட வட்டங்களின் ஆரங்கள் முறையே \(r_A\), \(r_B\), மற்றும் \(r_C\) எனக் கொள்வோம். வட்டங்கள் வெளிப்புறமாகத் தொடுவதால், தொடும் எந்த இரு வட்டங்களின் மையங்களுக்கு இடையிலான தொலைவு அவற்றின் ஆரங்களின் கூடுதலாகும்.

\[ AB=r_A+r_B \]
\[ BC=r_B+r_C \]
\[ CA=r_C+r_A \]

STEP 2: கொடுக்கப்பட்ட பக்க நீளங்களை சமன்பாடுகளில் பிரதியிடுதல்.

\(AB = 8 \text{ செமீ}\), \(BC = 4 \text{ செமீ}\), மற்றும் \(CA = 5 \text{ செமீ}\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த மதிப்புகளை STEP 1 இலிருந்து பெறப்பட்ட சமன்பாடுகளில் பிரதியிட:

\[ r_A+r_B=8 \quad (\text{சமன்பாடு } 1) \]
\[ r_B+r_C=4 \quad (\text{சமன்பாடு } 2) \]
\[ r_C+r_A=5 \quad (\text{சமன்பாடு } 3) \]

STEP 3: ஆரங்களைக் கண்டறிய நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

மூன்று நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு நமக்கு உள்ளது. தீர்க்க ஒரு வழி, மூன்று சமன்பாடுகளையும் கூட்டுவது:

\[ (r_A+r_B)+(r_B+r_C)+(r_C+r_A)=8+4+5 \]
\[ 2r_A+2r_B+2r_C=17 \]
\[ 2(r_A+r_B+r_C)=17 \]
\[ r_A+r_B+r_C=\frac{17}{2}=8.5 \]

இப்போது, தனிப்பட்ட ஆரங்களைக் கண்டறிய ஒவ்வொரு அசல் சமன்பாட்டையும் கூட்டலில் இருந்து (\(r_A+r_B+r_C=8.5\)) கழிக்கவும்:

\[ r_C=(r_A+r_B+r_C)-(r_A+r_B)=8.5-8=0.5 \]
\[ r_A=(r_A+r_B+r_C)-(r_B+r_C)=8.5-4=4.5 \]
\[ r_B=(r_A+r_B+r_C)-(r_C+r_A)=8.5-5=3.5 \]

STEP 1: Define variables and find the half-lengths of the chords.

Let \(r\) be the radius of the circle. Let the lengths of the two parallel chords be \(l_1 = 8 \text{ cm}\) and \(l_2 = 6 \text{ cm}\). When a perpendicular is drawn from the center to a chord, it bisects the chord.

Half-length of the longer chord (\(l_1\)):

\[ h_1 = \frac{l_1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm} \]

Half-length of the shorter chord (\(l_2\)):

\[ h_2 = \frac{l_2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm} \]

STEP 2: Relate the distances of the chords from the center.

Let \(x_1\) be the distance of the longer chord from the center, and \(x_2\) be the distance of the shorter chord from the center. Since the chords are on the same side of the center and the longer chord is closer to the center, the distance between them is the difference of their distances from the center. The distance between them is given as \(1 \text{ cm}\).

\[ x_2 – x_1 = 1 \]

So, we can express \(x_2\) in terms of \(x_1\):

\[ x_2 = x_1 + 1 \]

STEP 3: Apply the Pythagorean theorem to set up equations for the radius.

For each chord, the radius (\(r\)), the distance from the center (\(x\)), and the half-length of the chord (\(h\)) form a right-angled triangle (\(r^2 = x^2 + h^2\)).

For the longer chord:

\[ r^2 = x_1^2 + h_1^2 \implies r^2 = x_1^2 + 4^2 \implies r^2 = x_1^2 + 16 \quad (\text{Equation } 1) \]

For the shorter chord:

\[ r^2 = x_2^2 + h_2^2 \implies r^2 = x_2^2 + 3^2 \implies r^2 = x_2^2 + 9 \quad (\text{Equation } 2) \]

STEP 4: Solve the equations to find the distance of the longer chord from the center (\(x_1\)).

Equate the two expressions for \(r^2\) from STEP 3:

\[ x_1^2 + 16 = x_2^2 + 9 \]

Substitute \(x_2 = x_1 + 1\) from STEP 2 into this equation:

\[ x_1^2 + 16 = (x_1 + 1)^2 + 9 \]

Expand \((x_1 + 1)^2\):

\[ x_1^2 + 16 = x_1^2 + 2x_1 + 1 + 9 \]
\[ x_1^2 + 16 = x_1^2 + 2x_1 + 10 \]

Subtract \(x_1^2\) from both sides:

\[ 16 = 2x_1 + 10 \]

Subtract 10 from both sides:

\[ 16 – 10 = 2x_1 \]
\[ 6 = 2x_1 \]

Divide by 2:

\[ x_1 = 3 \text{ cm} \]

STEP 5: Calculate the radius of the circle (\(r\)).

Substitute the value of \(x_1\) (3 cm) into Equation 1 from STEP 3:

\[ r^2 = x_1^2 + 16 = 3^2 + 16 = 9 + 16 = 25 \]

Take the square root to find the radius:

\[ r = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]

STEP 6: Calculate the diameter of the circle.

The diameter is twice the radius.

\[ \text{Diameter} = 2r = 2 \times 5 = 10 \text{ cm} \]

STEP 1: மாறிகளை வரையறுத்து நாண்களின் அரை நீளங்களைக் கண்டறிதல்.

வட்டத்தின் ஆரம் \(r\) என்க. இரண்டு இணை நாண்களின் நீளங்கள் \(l_1 = 8 \text{ செ.மீ}\) மற்றும் \(l_2 = 6 \text{ செ.மீ}\) என்க. மையத்திலிருந்து ஒரு நாணிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடு நாணை இருசமபாகமாக்கும்.

நீளமான நாணின் (\(l_1\)) அரை நீளம்:

\[ h_1 = \frac{l_1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ செ.மீ} \]

குட்டையான நாணின் (\(l_2\)) அரை நீளம்:

\[ h_2 = \frac{l_2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ செ.மீ} \]

STEP 2: நாண்களின் மையத்திலிருந்து தூரங்களைத் தொடர்புபடுத்துதல்.

நீளமான நாணின் மையத்திலிருந்து தூரம் \(x_1\) என்க, மற்றும் குட்டையான நாணின் மையத்திலிருந்து தூரம் \(x_2\) என்க. நாண்கள் மையத்திற்கு ஒரே பக்கத்தில் உள்ளதாலும், நீளமான நாண் மையத்திற்கு அருகில் இருப்பதாலும், அவற்றுக்கிடையேயான தூரம் மையத்திலிருந்து அவற்றின் தூரங்களின் வித்தியாசமாகும். அவற்றுக்கிடையேயான தூரம் \(1 \text{ செ.மீ}\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

\[ x_2 – x_1 = 1 \]

எனவே, \(x_2\) ஐ \(x_1\) மூலம் வெளிப்படுத்தலாம்:

\[ x_2 = x_1 + 1 \]

STEP 3: ஆரத்திற்கான சமன்பாடுகளை அமைக்க பித்தாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

ஒவ்வொரு நாணிற்கும், ஆரம் (\(r\)), மையத்திலிருந்து தூரம் (\(x\)), மற்றும் நாணின் அரை நீளம் (\(h\)) ஆகியவை ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குகின்றன (\(r^2 = x^2 + h^2\)).

நீளமான நாணிற்கு:

\[ r^2 = x_1^2 + h_1^2 \implies r^2 = x_1^2 + 4^2 \implies r^2 = x_1^2 + 16 \quad (\text{சமன்பாடு } 1) \]

குட்டையான நாணிற்கு:

\[ r^2 = x_2^2 + h_2^2 \implies r^2 = x_2^2 + 3^2 \implies r^2 = x_2^2 + 9 \quad (\text{சமன்பாடு } 2) \]

STEP 4: சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து, நீளமான நாணின் மையத்திலிருந்து தூரத்தைக் (\(x_1\)) கண்டறிதல்.

STEP 3 இலிருந்து \(r^2\) க்கான இரண்டு கோவைகளையும் சமன் செய்தல்:

\[ x_1^2 + 16 = x_2^2 + 9 \]

STEP 2 இலிருந்து \(x_2 = x_1 + 1\) என்பதை இந்த சமன்பாட்டில் பிரதியிட:

\[ x_1^2 + 16 = (x_1 + 1)^2 + 9 \]

\((x_1 + 1)^2\) ஐ விரிவுபடுத்த:

\[ x_1^2 + 16 = x_1^2 + 2x_1 + 1 + 9 \]
\[ x_1^2 + 16 = x_1^2 + 2x_1 + 10 \]

இரு பக்கங்களிலிருந்தும் \(x_1^2\) ஐக் கழிக்க:

\[ 16 = 2x_1 + 10 \]

இரு பக்கங்களிலிருந்தும் 10 ஐக் கழிக்க:

\[ 16 – 10 = 2x_1 \]
\[ 6 = 2x_1 \]

2 ஆல் வகுக்க:

\[ x_1 = 3 \text{ செ.மீ} \]

STEP 5: வட்டத்தின் ஆரத்தைக் (\(r\)) கணக்கிடுதல்.

STEP 4 இலிருந்து \(x_1\) (3 செ.மீ) இன் மதிப்பை STEP 3 இலிருந்து பெறப்பட்ட சமன்பாடு 1 இல் பிரதியிட:

\[ r^2 = x_1^2 + 16 = 3^2 + 16 = 9 + 16 = 25 \]

ஆரத்தைக் கண்டறிய வர்க்க மூலத்தை எடுக்க:

\[ r = \sqrt{25} = 5 \text{ செ.மீ} \]

STEP 6: வட்டத்தின் விட்டத்தைக் கணக்கிடுதல்.

விட்டம் ஆரத்தின் இரு மடங்காகும்.

\[ \text{விட்டம்} = 2r = 2 \times 5 = 10 \text{ செ.மீ} \]

STEP 1: Define variables for the given information.

Let \(H_p\) be the height of the pole and \(S_p\) be the length of the pole’s shadow.

Let \(H_t\) be the height of the tree and \(S_t\) be the length of the tree’s shadow.

We are given:

\(H_p = 6 \text{ m}\)

\(S_p = 4 \text{ m}\)

\(S_t = 16 \text{ m}\)

We need to find \(H_t\).

STEP 2: Set up the proportion based on similar triangles.

Since the ratio of height to shadow length is constant for similar triangles formed at the same time:

\[ \frac{\text{Height of tree}}{\text{Shadow of tree}} = \frac{\text{Height of pole}}{\text{Shadow of pole}} \]
\[ \frac{H_t}{S_t} = \frac{H_p}{S_p} \]

STEP 3: Solve for the height of the tree (\(H_t\)).

Rearrange the equation from STEP 2 to solve for \(H_t\):

\[ H_t = \frac{H_p}{S_p} \times S_t \]

Substitute the given values:

\[ H_t = \frac{6 \text{ m}}{4 \text{ m}} \times 16 \text{ m} \]
\[ H_t = \frac{6}{4} \times 16 \text{ m} \]

Simplify the fraction and calculate:

\[ H_t = \frac{3}{2} \times 16 \text{ m} \]
\[ H_t = 3 \times \frac{16}{2} \text{ m} \]
\[ H_t = 3 \times 8 \text{ m} \]
\[ H_t = 24 \text{ m} \]

STEP 1: கொடுக்கப்பட்ட தகவலுக்கான மாறிகளை வரையறுத்தல்.

கம்பத்தின் உயரம் \(H_p\) என்க, மற்றும் கம்பத்தின் நிழலின் நீளம் \(S_p\) என்க.

மரத்தின் உயரம் \(H_t\) என்க, மற்றும் மரத்தின் நிழலின் நீளம் \(S_t\) என்க.

கொடுக்கப்பட்டவை:

\(H_p = 6 \text{ மீ}\)

\(S_p = 4 \text{ மீ}\)

\(S_t = 16 \text{ மீ}\)

நாம் \(H_t\) ஐக் கண்டறிய வேண்டும்.

STEP 2: வடிவொத்த முக்கோணங்களின் அடிப்படையில் விகிதாச்சாரத்தை அமைத்தல்.

ஒரே நேரத்தில் உருவாகும் வடிவொத்த முக்கோணங்களுக்கு உயரம் மற்றும் நிழலின் நீள விகிதம் மாறிலியாகும் என்பதால்:

\[ \frac{\text{மரத்தின் உயரம்}}{\text{மரத்தின் நிழல்}} = \frac{\text{கம்பத்தின் உயரம்}}{\text{கம்பத்தின் நிழல்}} \]
\[ \frac{H_t}{S_t} = \frac{H_p}{S_p} \]

STEP 3: மரத்தின் உயரத்தைக் (\(H_t\)) கண்டறிவது.

STEP 2 இலிருந்து பெறப்பட்ட சமன்பாட்டை \(H_t\) க்காக மறுசீரமைக்கவும்:

\[ H_t = \frac{H_p}{S_p} \times S_t \]

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிட:

\[ H_t = \frac{6 \text{ மீ}}{4 \text{ மீ}} \times 16 \text{ மீ} \]
\[ H_t = \frac{6}{4} \times 16 \text{ மீ} \]

பின்னத்தை எளிமையாக்கி கணக்கிடவும்:

\[ H_t = \frac{3}{2} \times 16 \text{ மீ} \]
\[ H_t = 3 \times \frac{16}{2} \text{ மீ} \]
\[ H_t = 3 \times 8 \text{ மீ} \]
\[ H_t = 24 \text{ மீ} \]

STEP 1: Represent the two numbers using the given ratio.

The ratio of the two numbers is \(2:3\). Let the common factor be \(x\).

Then the two numbers can be represented as:

\[ \text{First number} = 2x \]
\[ \text{Second number} = 3x \]

STEP 2: Set up an equation based on the given sum.

The sum of the two numbers is given as 60.

\[ \text{First number} + \text{Second number} = 60 \]

Substitute the expressions from STEP 1 into the sum equation:

\[ 2x+3x=60 \]

STEP 3: Solve the equation to find the common factor (\(x\)).

Combine the terms on the left side of the equation:

\[ 5x=60 \]

Divide both sides by 5 to solve for \(x\):

\[ x=\frac{60}{5} \]
\[ x=12 \]

STEP 4: Calculate the two numbers using the common factor.

Now that we have the value of \(x\) (the common factor), substitute it back into the expressions for the numbers from STEP 1:

\[ \text{First number} = 2x = 2 \times 12 = 24 \]
\[ \text{Second number} = 3x = 3 \times 12 = 36 \]

STEP 1: கொடுக்கப்பட்ட விகிதத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டு எண்களைக் குறித்தல்.

அந்த இரண்டு எண்களின் விகிதம் \(2:3\). பொதுவான காரணி \(x\) என்க.

அந்த இரண்டு எண்களை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

\[ \text{முதல் எண்} = 2x \]
\[ \text{இரண்டாவது எண்} = 3x \]

STEP 2: கொடுக்கப்பட்ட கூடுதலை அடிப்படையாகக் கொண்டு ஒரு சமன்பாட்டை அமைத்தல்.

அந்த இரண்டு எண்களின் கூடுதல் 60 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

\[ \text{முதல் எண்} + \text{இரண்டாவது எண்} = 60 \]

STEP 1 இலிருந்து எண்களுக்கான கோவைகளைக் கூடுதல் சமன்பாட்டில் பிரதியிட:

\[ 2x+3x=60 \]

STEP 3: பொதுவான காரணியைக் (\(x\)) கண்டறிய சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது.

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள உறுப்புகளைச் சேர்க்க:

\[ 5x=60 \]

\(x\) ஐத் தீர்க்க இரு பக்கங்களையும் 5 ஆல் வகுக்க:

\[ x=\frac{60}{5} \]
\[ x=12 \]

STEP 4: பொதுவான காரணியைப் பயன்படுத்தி இரண்டு எண்களையும் கணக்கிடுதல்.

இப்போது \(x\) (பொதுவான காரணி) இன் மதிப்பு நமக்குத் தெரியும். STEP 1 இலிருந்து எண்களுக்கான கோவைகளில் இதை மீண்டும் பிரதியிட:

\[ \text{முதல் எண்} = 2x = 2 \times 12 = 24 \]
\[ \text{இரண்டாவது எண்} = 3x = 3 \times 12 = 36 \]

STEP 1: Define variables and express the interest for the first year.

Let the principal amount be \(P\). The rate of interest is \(R=10\%\). The interest for the first year (\(I_1\)) is calculated on the principal.

\[ I_1=P \times \frac{R}{100} = P \times \frac{10}{100} = 0.1P \]

STEP 2: Calculate the amount at the end of the first year.

The amount at the end of the first year (\(A_1\)) is the sum of the principal and the interest for the first year.

\[ A_1=P+I_1=P+0.1P=1.1P \]

STEP 3: Formulate the expression for the interest for the second year.

The interest for the second year (\(I_2\)) is calculated on the amount at the end of the first year (\(A_1\)) at the given rate.

\[ I_2 = A_1 \times \frac{R}{100} = (1.1P) \times \frac{10}{100} = 1.1P \times 0.1 \]
\[ I_2 = 0.11P \]

STEP 4: Set up an equation using the given interest for the second year.

We are given that the interest for the second year is Rs. 132.

\[ I_2=132 \]

Equate the expression for \(I_2\) from STEP 3 with this value:

\[ 0.11P=132 \]

STEP 5: Solve the equation to find the principal (\(P\)).

Divide both sides of the equation by 0.11 to find the value of \(P\):

\[ P=\frac{132}{0.11} \]

To remove the decimal in the denominator, multiply the numerator and denominator by 100:

\[ P = \frac{132 \times 100}{0.11 \times 100} = \frac{13200}{11} \]

Perform the division:

\[ P=1200 \]

STEP 1: மாறிகளை வரையறுத்து, முதல் வருட வட்டியைக் கண்டறிதல்.

அசல் தொகையை \(P\) என்க. வட்டி விகிதம் \(R=10\%\). முதல் வருட வட்டி (\(I_1\)) அசலின் மீது கணக்கிடப்படுகிறது.

\[ I_1=P \times \frac{R}{100} = P \times \frac{10}{100} = 0.1P \]

STEP 2: முதல் வருட முடிவில் உள்ள தொகையைக் கணக்கிடுதல்.

முதல் வருட முடிவில் உள்ள தொகை (\(A_1\)) என்பது அசலையும் முதல் வருட வட்டியையும் கூட்டியதாகும்.

\[ A_1=P+I_1=P+0.1P=1.1P \]

STEP 3: இரண்டாவது வருட வட்டிக்கான கோவையை உருவாக்குதல்.

இரண்டாவது வருட வட்டி (\(I_2\)) ஆனது முதல் வருட முடிவில் உள்ள தொகை (\(A_1\)) மீது கொடுக்கப்பட்ட வட்டி விகிதத்தில் கணக்கிடப்படுகிறது.

\[ I_2 = A_1 \times \frac{R}{100} = (1.1P) \times \frac{10}{100} = 1.1P \times 0.1 \]
\[ I_2 = 0.11P \]

STEP 4: கொடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது வருட வட்டியைக் கொண்டு ஒரு சமன்பாட்டை அமைத்தல்.

இரண்டாவது வருட வட்டி ரூ.132 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

\[ I_2=132 \]

STEP 3 இலிருந்து பெறப்பட்ட \(I_2\) க்கான கோவையை இந்த மதிப்புடன் சமன் செய்தல்:

\[ 0.11P=132 \]

STEP 5: அசலைக் (\(P\)) கண்டறிய சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது.

\(P\) இன் மதிப்பைக் கண்டறிய சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0.11 ஆல் வகுக்க:

\[ P=\frac{132}{0.11} \]

பகுதியிலுள்ள தசமத்தை நீக்க, தொகுதி மற்றும் பகுதியை 100 ஆல் பெருக்க:

\[ P = \frac{132 \times 100}{0.11 \times 100} = \frac{13200}{11} \]

வகுத்தலைச் செய்ய:

\[ P=1200 \]

STEP 1: Define variables and express the new price after the reduction.

Let the original price of the book be \(P\). The price is reduced by \(20\%\).

The new price of the book is the original price minus the reduction:

\[ \text{New Price} = P – 20\% \text{ of } P = P – 0.20P = 0.80P \]

STEP 2: Formulate expressions for the number of copies purchased.

The person pays a fixed amount of Rs. 720. Let the original number of copies that could be bought at the original price be \(N\).

Original number of copies:

\[ N = \frac{\text{Total Amount}}{\text{Original Price}} = \frac{720}{P} \]

After the price reduction, the person can buy 3 more copies for the same amount. The new number of copies is \(N+3\).

New number of copies:

\[ N+3 = \frac{\text{Total Amount}}{\text{New Price}} = \frac{720}{0.80P} \]

STEP 3: Set up an equation relating the original and new number of copies.

We know that the new number of copies is 3 more than the original number of copies.

\[ N+3 = \frac{720}{0.80P} \]

Substitute the expression for \(N\) from STEP 2 into this equation:

\[ \frac{720}{P} + 3 = \frac{720}{0.80P} \]

STEP 4: Solve the equation for the original price (\(P\)).

Multiply both sides of the equation by \(0.80P\) to clear the denominators:

\[ (0.80P) \times \left(\frac{720}{P} + 3\right) = (0.80P) \times \left(\frac{720}{0.80P}\right) \]
\[ 0.80P \times \frac{720}{P} + 0.80P \times 3 = 720 \]
\[ 0.80 \times 720 + 2.40P = 720 \]

Calculate \(0.80 \times 720\):

\[ 576 + 2.40P = 720 \]

Subtract 576 from both sides:

\[ 2.40P = 720 – 576 \]
\[ 2.40P = 144 \]

Divide by 2.40:

\[ P = \frac{144}{2.40} \]

Multiply numerator and denominator by 10 to remove the decimal:

\[ P = \frac{1440}{24} \]

Perform the division:

\[ P=60 \]

STEP 1: மாறிகளை வரையறுத்து, விலைக் குறைப்புக்குப் பிறகு புதிய விலையைக் கண்டறிதல்.

புத்தகத்தின் அசல் விலை \(P\) என்க. விலை \(20\%\) குறைக்கப்படுகிறது.

புதிய விலை = அசல் விலை – குறைக்கப்பட்ட தொகை:

\[ \text{புதிய விலை} = P – 20\% \text{ of } P = P – 0.20P = 0.80P \]

STEP 2: குறிப்பிட்ட தொகைக்கு வாங்கப்பட்ட அசல் மற்றும் புதிய பிரதிகளின் எண்ணிக்கைக்கான கோவைகளை உருவாக்குதல்.

ஒருவர் ரூ.720 என்ற நிலையான தொகையைச் செலுத்துகிறார். அசல் விலையில் ரூ.720க்கு வாங்கக்கூடிய அசல் பிரதிகளின் எண்ணிக்கை \(N\) என்க.

அசல் பிரதிகளின் எண்ணிக்கை:

\[ N = \frac{\text{மொத்த தொகை}}{\text{அசல் விலை}} = \frac{720}{P} \]

விலைக் குறைப்புக்குப் பிறகு, அதே தொகைக்கு 3 பிரதிகளை அதிகமாக வாங்க முடியும். புதிய பிரதிகளின் எண்ணிக்கை \(N+3\).

புதிய பிரதிகளின் எண்ணிக்கை:

\[ N+3 = \frac{\text{மொத்த தொகை}}{\text{புதிய விலை}} = \frac{720}{0.80P} \]

STEP 3: அசல் மற்றும் புதிய பிரதிகளின் எண்ணிக்கையைத் தொடர்புபடுத்தும் சமன்பாட்டை அமைத்தல்.

புதிய பிரதிகளின் எண்ணிக்கை அசல் பிரதிகளின் எண்ணிக்கையை விட 3 அதிகம் என்பது நமக்குத் தெரியும்.

\[ N+3 = \frac{720}{0.80P} \]

STEP 2 இலிருந்து \(N\) க்கான கோவையை இந்த சமன்பாட்டில் பிரதியிட:

\[ \frac{720}{P} + 3 = \frac{720}{0.80P} \]

STEP 4: அசல் விலையைக் (\(P\)) கண்டறிய சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது.

பகுதிகளை நீக்க சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \(0.80P\) ஆல் பெருக்க:

\[ (0.80P) \times \left(\frac{720}{P} + 3\right) = (0.80P) \times \left(\frac{720}{0.80P}\right) \]
\[ 0.80P \times \frac{720}{P} + 0.80P \times 3 = 720 \]
\[ 0.80 \times 720 + 2.40P = 720 \]
\[ 576 + 2.40P = 720 \]

இரு பக்கங்களிலிருந்தும் 576 ஐக் கழிக்க:

\[ 2.40P = 720 – 576 \]
\[ 2.40P = 144 \]

2.40 ஆல் வகுக்க:

\[ P = \frac{144}{2.40} \]

தசமத்தை நீக்க தொகுதி மற்றும் பகுதியை 10 ஆல் பெருக்க:

\[ P = \frac{1440}{24} \]
\[ P=60 \]

STEP 1: Define variables for the original and new radius.

Let the original radius of the circle be \(R\). The radius is decreased by \(25\%\).

The new radius, \(R_{\text{new}}\), will be the original radius minus \(25\%\) of the original radius.

\[ R_{\text{new}} = R – 25\% \text{ of } R = R – 0.25R = (1-0.25)R = 0.75R \]

(Note: The initial radius value of 12 cm is not needed to find the percentage decrease).

STEP 2: Write the formulas for the original and new area of the circle.

The formula for the area of a circle with radius \(r\) is \(A=\pi r^2\).

Original Area, \(A_{\text{original}}\):

\[ A_{\text{original}}=\pi R^2 \]

New Area, \(A_{\text{new}}\), with the new radius \(0.75R\):

\[ A_{\text{new}} = \pi (R_{\text{new}})^2 = \pi (0.75R)^2 = \pi (0.75)^2 R^2 \]

Calculate \((0.75)^2\):

\[ (0.75)^2 = 0.75 \times 0.75 = 0.5625 \]

So,

\[ A_{\text{new}}=0.5625\pi R^2 \]

STEP 3: Calculate the percentage decrease in area.

The decrease in area is the original area minus the new area.

\[ \text{Decrease in Area} = A_{\text{original}} – A_{\text{new}} = \pi R^2 – 0.5625\pi R^2 = (1-0.5625)\pi R^2 = 0.4375\pi R^2 \]

The percentage decrease in area is the (decrease in area / original area) multiplied by \(100\%\).

\[ \text{Percentage decrease} = \frac{\text{Decrease in Area}}{A_{\text{original}}} \times 100\% \]
\[ \text{Percentage decrease} = \frac{0.4375\pi R^2}{\pi R^2} \times 100\% \]

Cancel out \(\pi R^2\) (since \(\pi R^2 \neq 0\)):

\[ \text{Percentage decrease} = 0.4375 \times 100\% = 43.75\% \]

STEP 1: அசல் மற்றும் புதிய ஆரத்திற்கான மாறிகளை வரையறுத்தல்.

வட்டத்தின் அசல் ஆரம் \(R\) என்க. ஆரம் \(25\%\) குறைக்கப்படுகிறது.

புதிய ஆரம், \(R_{\text{புதிய}}\), அசல் ஆரத்திலிருந்து அசல் ஆரத்தின் \(25\%\) ஐக் கழித்து வரும்.

\[ R_{\text{புதிய}} = R – 25\% \text{ of } R = R – 0.25R = (1-0.25)R = 0.75R \]

(குறிப்பு: ஆரம்ப ஆரம் 12 செ.மீ என்ற மதிப்பு சதவீதக் குறைப்பைக் கண்டறியத் தேவையில்லை).

STEP 2: வட்டத்தின் அசல் மற்றும் புதிய பரப்பளவுக்கான சூத்திரங்களை எழுதுதல்.

ஆரம் \(r\) கொண்ட ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம் \(A=\pi r^2\).

அசல் பரப்பளவு, \(A_{\text{அசல்}}\):

\[ A_{\text{அசல்}}=\pi R^2 \]

புதிய பரப்பளவு, \(A_{\text{புதிய}}\), புதிய ஆரம் \(0.75R\) உடன்:

\[ A_{\text{புதிய}} = \pi (R_{\text{புதிய}})^2 = \pi (0.75R)^2 = \pi (0.75)^2 R^2 \]

\((0.75)^2\) ஐக் கணக்கிடுதல்:

\[ (0.75)^2 = 0.75 \times 0.75 = 0.5625 \]

எனவே,

\[ A_{\text{புதிய}}=0.5625\pi R^2 \]

STEP 3: பரப்பளவு குறையும் சதவீதத்தைக் கணக்கிடுதல்.

பரப்பளவு குறைப்பு என்பது அசல் பரப்பளவிலிருந்து புதிய பரப்பளவைக் கழிப்பதாகும்.

\[ \text{பரப்பளவு குறைப்பு} = A_{\text{அசல்}} – A_{\text{புதிய}} = \pi R^2 – 0.5625\pi R^2 = (1-0.5625)\pi R^2 = 0.4375\pi R^2 \]

பரப்பளவு குறையும் சதவீதம் என்பது (பரப்பளவு குறைப்பு / அசல் பரப்பளவு) ஐ \(100\%\) ஆல் பெருக்கினால் வரும்.

\[ \text{பரப்பளவு குறையும் சதவீதம்} = \frac{\text{பரப்பளவு குறைப்பு}}{A_{\text{அசல்}}} \times 100\% \]
\[ \text{பரப்பளவு குறையும் சதவீதம்} = \frac{0.4375\pi R^2}{\pi R^2} \times 100\% \]

\(\pi R^2\) ஐ நீக்க (ஏனெனில் \(\pi R^2 \neq 0\)):

\[ \text{பரப்பளவு குறையும் சதவீதம்} = 0.4375 \times 100\% = 43.75\% \]